삼각함수와 단위원

핵심 질문

각도를 재면 왜 점의 위치가 $\sin$ , $\cos$ 라는 두 숫자로 바뀔까?

교과서 설명

반지름이 1인 원을 단위원이라고 부른다. 원 위의 한 점을 생각해 보자. 중심에서 그 점까지 선을 그으면 각도 하나가 생기고, 그 점의 좌표는 항상 다음처럼 쓸 수 있다.

(\cos \theta, \sin \theta)

여기서 $\theta$ 는 각도다. $\cos \theta$ 는 점이 오른쪽으로 얼마나 갔는지, $\sin \theta$ 는 위로 얼마나 갔는지를 말한다.

각도를 잴 때 FFT에서는 보통 라디안을 쓴다. 반지름이 $1$ 인 원에서 호의 길이가 $1$ 이면 그 각도가 $1$ 라디안이다.

원 한 바퀴의 둘레는 $2\pi$ 이므로 한 바퀴는 $2\pi$ 라디안이다.

360^\circ=2\pi,\qquad 180^\circ=\pi,\qquad 90^\circ=\frac{\pi}{2}

각도를 도 단위에서 라디안으로 바꾸려면 한 바퀴가 서로 같다는 사실을 비율로 쓰면 된다.

\theta_{\text{rad}}=\theta_{\text{deg}}\cdot\frac{\pi}{180},\qquad \theta_{\text{deg}}=\theta_{\text{rad}}\cdot\frac{180}{\pi}

각도는 오른쪽 방향에서 시작해서 반시계 방향으로 커진다고 약속한다. 그래서 $\theta=0$ 은 오른쪽, $\theta=\frac{\pi}{2}$ 는 위쪽이다.

반대로 음수 각도는 시계 방향으로 돈다는 뜻이다. 예를 들어 $-\frac{\pi}{2}$ 는 오른쪽에서 시작해 아래쪽으로 $90^\circ$ 도는 각도다. 나중에 DFT 식에서 $e^{-2\pi i kn/N}$ 처럼 마이너스가 붙는 이유도 이 “반대 방향 회전” 약속과 연결된다.

단위원에서는 사분면에 따라 좌표의 부호가 달라진다. 오른쪽 위인 제1사분면에서는 $\cos\theta$ 와 $\sin\theta$ 가 모두 양수다. 왼쪽 위인 제2사분면에서는 가로 좌표가 왼쪽이므로 $\cos\theta<0$ 이고, 세로 좌표는 위쪽이므로 $\sin\theta>0$ 이다.

\begin{array}{c|c|c|c} \text{사분면}&\text{각도 범위}&\cos\theta&\sin\theta\\ \hline \text{제1사분면}&0<\theta<\frac{\pi}{2}&+&+\\ \text{제2사분면}&\frac{\pi}{2}<\theta<\pi&-&+\\ \text{제3사분면}&\pi<\theta<\frac{3\pi}{2}&-&-\\ \text{제4사분면}&\frac{3\pi}{2}<\theta<2\pi&+&- \end{array}

축 위의 대표점도 함께 기억하자.

\theta=\pi\Rightarrow(-1,0),\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}\Rightarrow(0,-1),\qquad \theta=-\frac{\pi}{2}\Rightarrow(0,-1)

따라서 음수 각도라고 해서 좌표가 모두 음수가 되는 것은 아니다. 시계 방향으로 어느 사분면에 도착했는지를 보고 $\cos$ 와 $\sin$ 의 부호를 따로 판단한다.

라디안과 삼각함수의 유도

라디안은 원의 호 길이에서 나온 각도 단위다. 반지름이 $r$ 인 원에서 중심각이 $\theta$ 라디안이면, 그 각이 만드는 호의 길이 $s$ 는 다음과 같다.

s=r\theta

단위원에서는 $r=1$ 이므로 $s=\theta$ 가 된다. 그래서 한 바퀴의 호 길이 $2\pi$ 가 곧 한 바퀴 각도 $2\pi$ 라디안이 된다. FFT에서 $2\pi$ 가 반복해서 등장하는 이유는 “한 바퀴 회전”을 수식으로 쓰기 위해서다.

단위원 위의 점 $P$ 를 오른쪽 축에서 $\theta$ 만큼 회전한 위치라고 하자. $P$ 에서 $x$ 축으로 수선을 내리면 직각삼각형이 생긴다. 빗변 길이가 $1$ 이므로 가로 길이와 세로 길이는 각각

\cos\theta,\qquad \sin\theta

가 된다. 따라서 단위원 좌표는 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 이다. 이 정의에서 곧바로 피타고라스 항등식도 나온다.

\cos^2\theta+\sin^2\theta=1

또 원 위에서 한 바퀴 더 돌면 같은 점으로 돌아오므로, 삼각함수는 $2\pi$ 를 주기로 반복된다. 이 주기성이 DFT에서 “정수 개의 바퀴”를 검사할 수 있게 해 준다.

길이 $N$ 인 샘플 묶음에서 한 바퀴를 $N$ 칸으로 나누면 한 칸의 각도는

\Delta\theta=\frac{2\pi}{N}

이다. $n$ 번째 칸의 각도는 $n\Delta\theta=\frac{2\pi n}{N}$ 이고, 이 값이 뒤에서 $\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)$ 같은 식의 기본 재료가 된다.

직관 비유

손전등을 들고 원 위를 걷는다고 생각하자. 바닥에 생기는 그림자의 가로 위치가 $\cos$ , 벽에 생기는 세로 위치가 $\sin$ 이다. 같은 움직임을 두 방향의 그림자로 나누어 보는 것이다.

예제

각도가 $0$ 이면 점은 $(1,0)$ 에 있다.

\cos 0 = 1,\qquad \sin 0 = 0

각도가 $\frac{\pi}{2}$ 이면 점은 $(0,1)$ 에 있다.

\cos \frac{\pi}{2} = 0,\qquad \sin \frac{\pi}{2} = 1

한 바퀴를 더 돌아도 같은 위치로 돌아온다.

\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta,\qquad \sin(\theta+2\pi)=\sin\theta

자주 쓰는 각도는 미리 익혀 두면 좋다.

\frac{\pi}{6}=30^\circ,\qquad \frac{\pi}{4}=45^\circ,\qquad \frac{\pi}{3}=60^\circ

손풀이 체크

$60^\circ$ 를 라디안으로 바꾸면 얼마일까?

답 보기
$\frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{4}$ 는 몇 도일까?

답 보기
$45^\circ$
$\theta=\frac{\pi}{6}$ 일 때 단위원 위의 점은 어느 사분면에 있을까?

답 보기
제1사분면. 좌표는 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ 이다.

다음으로 이어지는 생각

점이 원 위를 계속 돌면 $\sin$ , $\cos$ 값도 반복된다. 이 반복이 다음 장의 파동으로 이어진다.

삼각함수와 단위원

삼각함수와 단위원

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교과서 설명

라디안과 삼각함수의 유도

직관 비유

예제

손풀이 체크

다음으로 이어지는 생각

이번 장에서 기억할 3문장

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