복소수의 크기와 방향

핵심 질문

복소수 하나는 왜 “세기”와 “시작 방향”을 함께 담을 수 있을까?

복소수 $z=a+bi$ 는 복소평면 위의 점이자, 원점에서 그 점까지 가는 화살표로 볼 수 있다.

이 화살표의 길이를 복소수의 크기라고 한다.

|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}

화살표가 오른쪽 방향에서 얼마나 돌아갔는지를 방향 각도라고 생각할 수 있다. 이 각도를 $\theta$ 라고 하면, 복소수는 길이와 방향으로도 쓸 수 있다.

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

여기서 $r$ 은 크기이고, $\theta$ 는 방향이다. 정확한 각도 계산은 삼각비를 더 배운 뒤 해도 된다. 지금은 “복소수는 길이와 방향을 가진 화살표”라는 그림을 잡는 것이 중요하다.

DFT 결과 $X[k]$ 도 복소수다. 그래서 $X[k]$ 에는 두 정보가 들어 있다.

|X[k]|\quad\text{주파수의 세기}

\text{방향 각도}\quad\text{그 주파수가 시작한 위치}

이 시작 위치를 나중에는 위상이라고 부른다.

복소수 $z=a+bi$ 가 원점이 아닌 경우, 크기를

r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}

라고 두면 $z$ 의 좌표를 크기 $r$ 로 나누어 단위원 위의 점으로 만들 수 있다.

\left(\frac{a}{r},\frac{b}{r}\right)

단위원 위의 점은 어떤 각도 $\theta$ 에 대해 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 로 쓸 수 있으므로

\frac{a}{r}=\cos\theta,\qquad \frac{b}{r}=\sin\theta

이다. 양쪽에 $r$ 을 곱하면

a=r\cos\theta,\qquad b=r\sin\theta

이고, 따라서

z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)

가 된다. 이 표현을 극형식이라고 부른다.

위상 $\theta$ 는 하나로만 정해지지 않는다. $\theta$ 와 $\theta+2\pi$ 는 같은 방향을 나타낸다. 그래서 DFT 결과의 위상도 “한 바퀴를 몇 번 더 돌았는가”를 제외하고 해석한다.

e^{i(\theta+2\pi)}=e^{i\theta}

좌표에서 위상을 계산할 때는 단순히 $\tan\theta=\frac{b}{a}$ 만 보는 것으로는 사분면을 구분하기 어렵다. 그래서 실제 계산에서는 보통

\theta=\operatorname{atan2}(b,a)

처럼 실수부 $a$ 와 허수부 $b$ 를 함께 넣어 각도를 구한다. 예를 들어 $1+i$ 와 $-1-i$ 는 $\frac{b}{a}=1$ 이지만 방향은 서로 반대 사분면이다.

실수 신호의 DFT에서 $k$ 와 $N-k$ 가 짝으로 나타날 때, 두 성분은 크기는 같고 위상 방향이 반대인 켤레복소수 관계를 이룬다. 이 사실은 나중에 스펙트럼을 읽을 때 중요하다.

스피커 소리를 생각하자. 소리는 “얼마나 큰가”와 “어느 박자에서 시작했는가”를 함께 가진다. 복소수의 크기는 소리의 크기처럼, 방향은 박자의 시작점처럼 볼 수 있다.

복소수 $3+4i$ 를 보자. 좌표로는 $(3,4)$ 이고, 크기는 피타고라스 정리로 구한다.

|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5

이 복소수는 오른쪽으로 $3$ , 위로 $4$ 만큼 간 화살표다. 따라서 오른쪽 방향보다 위쪽으로 기울어 있다.

반대로 $3-4i$ 는 크기는 같지만 아래쪽으로 기울어 있다.

|3-4i|=5

두 복소수는 세기는 같고 방향만 다르다.

복소수를 길이와 방향으로 읽을 수 있으면, 오일러 공식 $e^{i\theta}$ 를 “회전 손잡이”로 받아들이기 쉬워진다.