회전과 오일러 공식 직관

핵심 질문

복소수와 삼각함수는 어떻게 회전으로 연결될까?

오일러 공식은 복소수와 삼각함수를 연결한다.

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

이 식은 각도 $\theta$ 만큼 회전한 단위원 위의 점을 복소수로 쓴 것이다.

음수 각도는 아래처럼 허수부의 부호가 바뀐다.

e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta

즉 $e^{i\theta}$ 가 반시계 방향 회전이라면, $e^{-i\theta}$ 는 같은 크기만큼 시계 방향으로 도는 회전이다. DFT의 지수에 $-$ 가 붙을 때도 이 반대 방향 회전을 사용한다.

일반 복소수는 길이와 각도로도 나타낼 수 있다.

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}

여기서 $r$ 은 원점에서의 거리이고, $\theta$ 는 방향 각도다. 복소수를 곱하면 길이는 곱해지고 각도는 더해진다.

r_1e^{i\alpha}\cdot r_2e^{i\beta}=r_1r_2e^{i(\alpha+\beta)}

같은 회전을 여러 번 곱하면 각도도 그 횟수만큼 더해진다.

\left(e^{i\theta}\right)^m=e^{im\theta}

그래서 DFT의 회전값도

e^{-2\pi i kn/N}=\left(e^{-2\pi i/N}\right)^{kn}

처럼 기본 회전값의 거듭제곱으로 정리할 수 있다.

좌표식으로 직접 곱하면 다음과 같다.

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

이 공식이 “복소수 곱셈은 회전과 확대를 함께 한다”는 말을 계산으로 보여 준다.

난이도를 구분해 두자. 이 장에서는 오일러 공식을 깊게 증명하기보다, 삼각함수와 복소수 회전을 이어 주는 강력한 연결식으로 사용한다. 왜 정확히 성립하는지는 미분과 무한급수를 배운 뒤 더 엄밀하게 증명할 수 있다. 다음 증명 스케치는 선택적으로 읽어도 된다.

대학 교재에서는 오일러 공식을 보통 거듭제곱급수로 유도한다. 지수함수, 사인, 코사인은 다음처럼 전개된다.

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots,\qquad \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots

여기서 $x$ 대신 $i\theta$ 를 넣으면

e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\cdots

이다. $i^2=-1$ , $i^3=-i$ , $i^4=1$ 을 이용해 실수부와 허수부를 따로 모으면

e^{i\theta} =\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right) +i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\right)

가 된다. 앞 괄호는 $\cos\theta$ , 뒤 괄호는 $\sin\theta$ 의 급수와 같으므로

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

가 나온다. 이 증명은 고등학교 과정 밖의 무한급수를 사용하지만, 왜 지수함수와 회전이 연결되는지 보여 주는 가장 표준적인 길이다.

또한 오일러 공식은 회전의 합성 법칙과도 잘 맞는다.

e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}

즉 $\alpha$ 만큼 돌고 다시 $\beta$ 만큼 도는 것은 한 번에 $\alpha+\beta$ 만큼 도는 것과 같다. FFT의 회전 인자들이 거듭제곱으로 정리되는 이유도 이 성질에 기대고 있다.

$e^{i\theta}$ 는 회전 손잡이처럼 생각할 수 있다. 어떤 복소수에 이 값을 곱하면 그 복소수는 원점 중심으로 $\theta$ 만큼 돌아간다.

$i$ 는 $90^\circ$ 회전과 비슷하다.

1\cdot i=i,\qquad i\cdot i=-1

한 번 곱하면 위로 가고, 두 번 곱하면 왼쪽으로 간다.

예를 들어 $1+i$ 는 길이가 $\sqrt{2}$ 이고 방향은 $45^\circ$ 이다. 여기에 $i$ 를 곱하면 방향이 $90^\circ$ 더 돌아간다.

(1+i)i=-1+i

DFT는 여러 회전 손잡이를 사용해서 신호 안에 숨어 있는 주파수를 찾는다.