복소수 평면

핵심 질문

복소수는 왜 평면 위의 점처럼 볼 수 있을까?

복소수는 실수부와 허수부를 가진 수다.

z=a+bi

여기서 $i$ 는 제곱하면 $-1$ 이 되는 수다.

i^2=-1

복소수 $a+bi$ 는 좌표평면의 점 $(a,b)$ 처럼 그릴 수 있다. 이 평면을 복소수 평면이라고 부른다.

복소수도 벡터처럼 길이를 가질 수 있다. 원점에서 $(a,b)$ 까지의 거리가 복소수의 크기다.

|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}

허수부의 부호만 바꾼 복소수를 켤레복소수라고 한다.

\overline{a+bi}=a-bi

켤레복소수는 복소평면에서 점을 가로축에 대해 뒤집은 것이다. 나중에 실수 신호의 DFT에서 $k$ 와 $N-k$ 가 짝처럼 나타나는 현상을 이해할 때 도움이 된다. 예를 들어 $N=8$ 이면 $k=2$ 와 $k=6$ 이 이런 짝이다.

복소수 덧셈은 벡터 덧셈과 같다.

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

복소수 곱셈은 조금 더 중요하다. $i^2=-1$ 을 이용해 직접 전개하면

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd\,i^2

이고, $i^2=-1$ 을 대입하면

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

가 된다. 이 식은 좌표만 보면 복잡하지만, 극형식으로 보면 회전과 확대가 된다. 그래서 DFT의 회전값 $e^{-2\pi i kn/N}$ 을 곱하는 계산이 복소평면의 회전으로 해석된다.

특히 길이가 $1$ 인 복소수 $\cos\theta+i\sin\theta$ 를 곱하면 크기는 그대로 두고 방향만 바뀐다.

(a+bi)(\cos\theta+i\sin\theta) =(a\cos\theta-b\sin\theta)+(a\sin\theta+b\cos\theta)i

좌표로 쓰면

(a,b)\mapsto(a\cos\theta-b\sin\theta,\ a\sin\theta+b\cos\theta)

이고, 이것은 원점 중심으로 $\theta$ 만큼 회전하는 공식이다.

켤레복소수도 계산에서 매우 자주 쓰인다. $z=a+bi$ 에 대해

z\overline z=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2

이다. 즉 켤레를 곱하면 허수부가 사라지고 크기의 제곱이 남는다. 복소 내적에서 켤레를 쓰는 이유도 방향을 맞추어 비교하고, 크기 정보를 실수처럼 해석하기 위해서다.

실수만 쓰면 수직선 위에서 왼쪽과 오른쪽으로만 움직인다. 복소수를 쓰면 위아래 방향이 하나 더 생겨서 평면 위를 움직일 수 있다.

(2+i)+(1+3i)=3+4i

실수부끼리, 허수부끼리 더하면 된다.

크기와 켤레복소수도 계산해 보자.

|3+4i|=5,\qquad \overline{3+4i}=3-4i

덧셈은 좌표를 더하는 이동이고, 곱셈은 다음 장에서 볼 회전과 확대까지 포함한다.

$i$ 를 곱하는 계산을 미리 보면 회전이 더 잘 보인다.

(a+bi)i=ai+bi^2=-b+ai

좌표로는 다음 변화다.

(a,b)\mapsto(-b,a)

즉, $i$ 를 곱하면 복소평면에서 $90^\circ$ 회전한다.

복소수를 평면 위의 화살표로 볼 수 있으면, 다음에는 그 화살표의 길이와 방향을 따로 읽을 수 있다.