좌표평면과 함수 그래프

핵심 질문

좌표평면에서 함수 그래프는 무엇을 보여 주는 그림일까?

교과서 설명

좌표평면은 가로축 $x$와 세로축 $y$로 위치를 나타내는 도구다. 함수는 입력 $x$에 대해 출력 $y$를 정하는 규칙이다.

이 식은 $x$를 넣으면 $x^2$을 출력한다는 뜻이다. 그래프는 많은 입력과 출력을 점으로 찍어 연결한 그림이다.

그래프 위의 점 $(x,y)$는 “입력 $x$를 넣었을 때 출력이 $y$이다”라는 기록이다.

함수에서 꼭 지켜야 할 조건은 같은 입력에는 출력이 하나만 정해진다는 것이다. 수식으로 쓰면

이다. 그래서 $(2,3)$과 $(2,5)$가 동시에 같은 함수의 그래프 위에 있을 수는 없다. 이 조건이 있어야 $x_n$을 하나 고를 때 표본값 $y[n]=f(x_n)$도 하나로 정해진다.

연속 그래프는 점이 끊기지 않고 이어진 그림이다. 하지만 컴퓨터는 무한히 많은 점을 저장하지 못하므로 몇 개의 점만 골라 저장한다.

이렇게 고른 값들의 목록이 뒤에서 말하는 신호 배열과 연결된다.

세부 정의와 표본화 과정

대학 교재에서는 함수를 단순한 “식”보다 조금 넓게 본다. 함수 $f$는 입력 집합의 각 원소 $x$에 출력 집합의 원소 $f(x)$를 하나씩 대응시키는 규칙이다. 그래프는 이 대응 관계를 좌표평면에 모은 집합이다.

여기서 $D$는 함수가 정의되는 입력 범위다. 컴퓨터가 함수를 다룰 때는 $D$ 전체를 저장하지 않고, 일정한 간격으로 고른 점만 저장한다. 시작점을 $a$, 간격을 $\Delta x$라고 하면 $n$번째 표본은 다음처럼 쓸 수 있다.

여기서 $\Delta x$는 “델타 x”라고 읽고, $x$값이 한 표본에서 다음 표본으로 갈 때마다 얼마나 늘어나는지를 뜻한다. 즉 $\Delta x$는 새로운 함수나 특별한 점이 아니라, $x$축에서 표본을 찍는 한 칸의 폭이다. 예를 들어 $a=2$, $\Delta x=0.5$라면 표본의 $x$좌표는 $2, 2.5, 3, 3.5,\dots$처럼 0.5씩 늘어난다. 그래서 $n\Delta x$는 시작점 $a$에서 오른쪽으로 $n$칸 이동한 거리이고, $a+n\Delta x$는 그때의 실제 $x$좌표다.

이때 $y[0],y[1],\dots,y[N-1]$은 연속 함수 자체가 아니라 길이 $N$인 벡터다. 나중에 DFT와 FFT가 다루는 대상도 “무한히 이어진 그래프”가 아니라 이렇게 유한하게 잘라 낸 값들의 배열이다.

중요한 점은 역방향이 하나로 정해지지 않는다는 것이다. 같은 네 점을 지나는 연속 그래프는 무수히 많을 수 있다. 따라서 표본 배열만 보고 원래 그래프를 완벽히 복원하려면, 신호가 충분히 부드럽다거나 특정 주파수 이하만 가진다는 추가 조건이 필요하다.

직관 비유

함수는 자동판매기와 비슷하다. $x$라는 동전을 넣으면 $f(x)$라는 음료가 나온다. 그래프는 모든 동전과 음료의 관계를 지도처럼 펼친 것이다.

예제

$f(2)=4$, $f(-2)=4$이므로 두 점 $(2,4)$, $(-2,4)$가 그래프 위에 있다.

예를 들어 $f(x)=x^2$을 네 점에서만 보면 다음 배열처럼 저장할 수 있다.

주의할 점이 있다. 그래프를 배열로 자르면 저장하기 쉬워지지만, 고르지 않은 중간 부분의 정보는 사라진다. 그래서 샘플을 너무 적게 찍으면 원래 그래프를 잘못 상상할 수 있다.

손풀이 체크

1. $f(x)=2x+1$일 때 $f(0),f(1),f(2)$를 배열로 쓰면?

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   $[1,3,5]$

2. 점 $(3,9)$가 $y=x^2$ 위에 있는 이유는?

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   $3^2=9$이기 때문이다.

3. 그래프를 네 점만 찍어 배열로 저장하면 무엇을 잃을 수 있을까?

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   네 점 사이에서 그래프가 어떻게 움직였는지에 대한 정보가 줄어든다.

다음으로 이어지는 생각

좌표평면에서 점과 그래프를 읽을 수 있으면, 원 위의 점을 $\sin$, $\cos$로 읽는 단위원도 더 쉽게 볼 수 있다.